1. Показатели эффективности использования СМО:

Абсолютная пропускная способность СМО – среднее число заявок, которое смо-

жет обслужить СМО в единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок,

обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же

время заявок.

Средняя продолжительность периода занятости СМО.

Коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого

СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

Среднее время ожидания заявки в очереди.

Среднее время пребывания заявки в СМО.

Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

Среднее число заявок, находящихся в очереди.

Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО – клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени

Классификация систем массового обслуживания

По числу каналов СМО:

одноканальные (когда имеется один канал обслуживания)

многоканальные , точнее n -канальные (когда количество каналов n ≥ 2).

По дисциплине обслуживания:

1. СМО с отказами , в которых заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все

каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»). Чтобы эта заявка все же

была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз.

2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью ). В таких системах

заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).

3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием ). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

Эти ограничения могут накладываться на длину очереди , т.е. максимально возможное

число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.

Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди , по исте-

чению которого она выходит из очереди и покидает систему).

В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы об-

служивания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным , когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным , при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом , когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь.

По ограничению потока заявок:

замкнутые и открытые .

Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращать-

ся, то СМО является замкнутой , в противном случае – открытой .

По количеству этапов обслуживания:

однофазные и многофазные

Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслужива-

ния, то такие СМО называются однофазными . Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной . Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.).

2 - очередь - требования, ожидающие обслуживания.

Очередь оценивается средней длиной г - числом объектов или клиентов, ожи­дающих обслуживания.

3 - обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) - совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.

4 - выходящий поток требований со"(г) - поток требований, прошедших СМО. В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований: отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.

5 - замыкание (возможное) СМО - состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.

На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО, ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.

Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.

1. По ограничениям на длину очереди:

СМО с потерями - требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты;

СМО без потерь - требование занимает очередь, даже если все каналы заняты;

СМО с ограничениями по длине очереди т или времени ожидания: если су­ществует ограничение на очередь, то вновь поступившее (/?/ + 1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость на­копительной площадки перед АЗС).

2. По количеству каналов обслуживания п:

Одноканальные: п = 1;

Многоканальные п ^ 2.

3. По типу обслуживающих каналов:

Однотипные (универсальные);

Разнотипные (специализированные).

4. По порядку обслуживания:

Однофазовые - обслуживание производится на одном аппарате (посту);

Многофазовые - требования последовательно проходит несколько аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка авто­мобиля; линия внешнего ухода: уборка -> мойка -> обсушка -> полировка).

5. По приоритетности обслуживания:

Без приоритета - требования обслуживаются в порядке их поступления на
СМО;

С приоритетом - требования обслуживаются в зависимости от присвоенного
им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей
скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей,
приносящих наибольшую прибыль на перевозках).

6. По величине входящего потока требований:

С неограниченным входящим потоком;

С ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной за­писи на определенные виды работ и услуг).

7. По структуре С МО:

Замкнутые - входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП, обслуживающее только свои автомобили (5 на рис. 6.6));

Открытые - входящий поток требований не зависит от числа ранее обслу­женных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.

8. По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:

С взаимопомощью - пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование "скользящих" рабочих;

Без взаимопомощи - пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.

Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распростра­нение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с одно- или многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.

В качестве показателей эффективности работы СМО используют приведен­ные ниже параметры.

Интенсивность обслуживания

Относительная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.

Вероятность того, что все посты свободны Р {) , характеризует такое состоя­ние системы, при котором все объекты исправны и не требуют проведения техни­ческих воздействий, т.е. требования отсутствуют.

Вероятность отказа в обслуживании Р огк имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней. Она показывает долю "потерянных" для системы требований.

Вероятность образования очереди Р оц определяет такое состояние системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее требование "встает" в очередь с числом ожидающих требований г.

Зависимости для определения названных параметров функционирования СМО определяются ее структурой.

Среднее время нахождения в очереди

Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам, чтобы И - min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и имитационного моделирования.

Пример. На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования (п = 1). В данном случае длина очереди практически неограниченна. Определить параметры эффек­тивности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С\ = 20 р.е. (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С 2 = 15 р.е. Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.

Пример. На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (п = 2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения (площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С2 = 22р.е. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для пре­дыдущего примера.

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же:

> 0)

busyChannelCount++;

p_currentCondit += k * (i + 1);

if (busyChannelCount > 1)

{p_currentCondit ++;}

return p_currentCondit + (int) QueueLength;

Изменение времени пребывания СМО в состояниях с длиной очереди 1, 2,3,4. Это реализуется следующим программным кодом:

if (queueLength > 0)

timeInQueue += timeStep;

if (queueLength > 1)

{timeInQueue += timeStep;}

Присутствует такая операция, как помещение заявки на обслуживание в свободный канал. Просматриваются, начиная с первого, все каналы, когда выполняется условие timeOfFinishProcessingReq [ i ] <= 0 (канал свободен), в него подается заявка, т.е. генерируется время окончания обслуживания заявки.

for (int i = 0; i < channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] <= 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] = GetServiceTime();

totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq [i];

Обслуживаниезаявоквканалахмоделируетсякодом:

for (int i = 0; i < channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] > 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] -= timeStep;

Алгоритм метода имитационного моделирования реализован на языке программирования C#.

3.3 Расчет показателей эффективности СМО на основе результатов ее имитационного моделирования

Наиболее важными являются такие показатели, как:

1) Вероятность отказа в обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди). Для нахождения вероятности отказа разделим время пребывания СМО в состоянии с очередью 4 на общее время работы системы.

2) Относительная пропускная способность – это средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой.

3) Абсолютная пропускная способность– это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

4) Длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди. Длина очереди равна сумме произведений числа человек в очереди на вероятность соответствующего состояния. Вероятности состояний найдем как отношение времени нахождения СМО в этом состоянии к общему времени работы системы.

5) Среднее время пребывания заявки в очереди определяется формулой Литтла

6) Среднее число занятых каналовопределяется следующим образом:

7) Процент заявок, которым было отказано в обслуживании, находится по формуле

8) Процент обслуженных заявок находится по формуле

3.4 Статистическая обработка результатов и их сравнение с результатами аналитического моделирования

Т.к. показатели эффективности получаются в результате моделирования СМО в течение конечного времени, они содержат случайную компоненту. Поэтому, для получения более надежных результатов нужно провести их статистическую обработку. С этой целью оценим доверительный интервал для них по результатам 20 прогонов программы.

Величина попадает в доверительный интервал, если выполняется неравенство

, где

математическое ожидание (среднее значение), находится по формуле

Исправленная дисперсия,

,

N =20 – число прогонов,

– надежность. При и N =20 .

Результат работы программы представлен на рис. 6.

Рис. 6. Вид программы

Для удобства сравнения результатов, полученных различными методами моделирования, представим их в виде таблицы.

Таблица 2.

Показатели эффективности СМО	Результаты аналитического моделирования	Результаты имитационного моделирования (послед. шаг)	Результаты имитационного моделирования
			Нижняя граница доверительного интервала	Верхняя граница доверительного интервала
Вероятность отказа		0,174698253017626	0,158495148639101	0,246483801571923
Относительная пропускная способность		0,825301746982374	0,753516198428077	0,841504851360899
Абсолютная пропускная способность		3,96144838551539	3,61687775245477	4,03922328653232
Средняя длина очереди		1,68655313447018	1,62655862750852	2,10148609204869
Среднее время пребывания заявки в очереди	0,4242558575	0,351365236347954	0,338866380730942	0,437809602510145
Среднее число занятых каналов		1,9807241927577	1,80843887622738	2,01961164326616

Из табл. 2 видно, что результаты, полученные при аналитическом моделировании СМО, попадают в доверительный интервал, полученный по результатам имитационного моделирования. Т.е., результаты, полученные разными методами, согласуются.

Заключение

В данной работе рассмотрены основные методы моделирования СМО и расчета показателей их эффективности.

Проведено моделирование двухканальной СМО с максимальной длиной очереди равной 4 с помощью уравнений Колмогорова, а также, найдены финальные вероятности состояний системы. Рассчитаны показатели ее эффективности.

Проведено имитационное моделирование работы такой СМО. На языке программирования C# составлена программа, имитирующая ее работу. Проведена серия расчетов, по результатам которых найдены значения показателей эффективности системы и выполнена их статистическая обработка.

Полученные при имитационном моделировании результаты согласуются с результатами аналитического моделирования.

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Дрофа, 2004. – 208 с.

2. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 435 с.

3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 447 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. – 400 с.

5. Ивницкий В.Л. Теория сетей массового обслуживания. – М.: Физматлит, 2004. – 772 с.

6. Исследование операций в экономике/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити, 2004. – 407 с.

7. Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: ИД «Вильямс», 2005. – 902 с.

8. Харин Ю.С., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования. – Минск: Дизайн ПРО, 1997. – 288 с.