Что такое оптимальное управление? Задачи оптимального управления Оптимальная форма управления

Оптимальное управление технологическими процессами (Лекция)

ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. Основные понятия нахождения экстремума функции

2. Классификация методов оптимального управления

1. Основные понятия нахождения экстремума функции

Всякая математическая постановка оптимальной задачи часто равносильна или эквивалентна задаче отыскания экстремума функции одной или многих независимых переменных. Поэтому для решения таких оптимальных задач могут быть использованы различные методы поиска экстремума.

В общем случае задача оптимизации формулируется следующим образом:

Найти extr функции R (x ), где ХХ

R (x ) – называется целевой функцией или функцией или критерием оптимизации или оптимизируемой функцией

Х – независимая переменная.

Как известно необходимые условиям существования экстремума у непрерывной функции R (x ) могут быть получены из анализа первой производной . При этом функция R (x ) может иметь экстремальные значения при таких значениях независимой переменной Х, где первая производная равна 0. т.е. =0. Графически равенство нулю производной означает, что касательная к кривой R (x ) в этой точке параллельна оси абсцисс.

Равенство производной =0 есть необходимое условие экстремума.

Однако равенство нулю производной еще не означает, что в этой точке существует экстремум. Для того, чтобы окончательно убедится, что в этой точке действительно существует экстремум необходимо провести дополнительные исследования, которые заключаются в следующих способах:

1. Способ сравнения значений функций

Сравнивают значение функции R (x ) в «подозреваемой» на экстремум точке Х К две соседние значения функции R (x ) в точках Х К-ε и Х К+ε , где ε- малая положительная величина. (Рис. 2)

Если оба рассчитанных значения R (Х К+ε) и R (Х К-ε), окажутся меньше или больше R (Х К), то в точке Х К существует максимум или минимум функции R (х).

Если же R (Х К) имеет промежуточное значение между R (Х К-ε) и R (Х К+ε), то функция R (х) не имеет ни максимума ни минимума.

2. Способ сравнения знаков производных

Опять рассмотрим функцию R (Х К) в окрестностях точки Х К, т.е. Х К+ε и Х К-ε . При этом способе рассматривается знак производной в окрестности точки Х К. Если знаки производной в точках Х К-ε и Х К+ε различные, то в точке Х К существует экстремум. При этом вид экстремума (min или max ) может быть найден по изменению знака производной при переходе от точки Х К-ε к точке Х К+ε.

Если знак меняется с «+» на «-», то в точке Х К – максимум (рис. 3б), если наоборот с «-» на «+», то минимум. (Рис. 3а)

3. Способ исследования знаков высших производных.

Этот способ применяют в тех случаях, когда в точке «подозреваемой» на экстремум существуют производные высших порядков, т.е. функция R (Х К) не только сама непрерывна, но имеет также непрерывные производные и .

Способ сводится к следующему:

В точке Х К «подозреваемой» на экстремум, для которой справедливо

вычисляется значение второй производной .

Если при этом , то в точке Х К – максимум,

если , то в точке Х К – минимум.

При решении практических задач оптимизации требуется отыскать не какое-нибудь min или max значение функции R (Х К), а наибольшее или наименьшее значение этой функции, которое называется глобальным экстремумом. (Рис. 4)

В общем случае задача оптимизации состоит в отыскивании экстремума функции R (Х), при наличии тех или иных ограничений на уравнения математической модели.

В том случае, если R (Х) является линейной, а область допустимых решений задается линейными равенствами и неравенствами, то задача отыскания экстремумов функции относится к классу задач линейного программирования.

Часто множество Х определяют как систему функции

Тогда запись математической постановки задачи линейного программирования выглядит так:

В том случае, если или целевая функция R (Х) или какая-либо из ограничений не является линейной функцией, то задача отыскания экстремума функции R (Х) относится к классу задач нелинейного программирования.

В том случае, если на переменные Х не наложено никаких ограничений, то такая задача называется задачей на безусловный экстремум.

Пример типовой задачи оптимизации

Задача о коробке максимального объема.

Из этой заготовки следует вырезать четыре ровных квадрата по ее углам, а полученную фигуру (рис.5 б) согнуть так, чтобы получилась коробка без верхней крышки (рис.6.5 в). при этом необходимо так выбрать размер вырезаемых квадратов, чтобы получилась коробка максимального объема.

На примере данной задачи можно проиллюстрировать все элементы постановки задач оптимизации.

Рис. 5. Схема изготовления коробки из прямоугольной заготовки фиксированного размера

Оценочной функцией в данной задаче служит объем изготовленной коробки. Проблема заключается в выборе размера вырезаемых квадратов. Действительно, если размер вырезаемых квадратов слишком мал, то будет получена широкая коробка малой высоты, а значит и объем окажется невелик. С другой стороны, если размер вырезаемых квадратов будет слишком большой, то будет получена узкая коробка большой высоты, а значит, и ее объем также окажется невелик.

В то же время на выбор размера вырезаемых квадратов оказывает влияние ограничение размера исходной заготовки. Действительно, если вырезать квадраты со стороной, равной половине стороны исходной заготовки, то задача теряет смысл. Сторона вырезаемых квадратов также не может превышать половину сторон исходной заготовки, поскольку это невозможно из практических соображений. Из этого следует, что в постановке данной задачи должны присутствовать некоторые ограничения.

Математическая постановка задачи о коробке максимального объема . Для математической постановки данной задачи необходимо ввести в рассмотрение некоторые параметры, характеризующие геометрические размеры коробки. С этой целью дополним содержательную постановку задачи соответствующими параметрами. С этой целью будем рассматривать квадратную заготовку из некоторого гибкого материала, которая имеет длину стороны L (рис. 6). Из этой заготовки следует вырезать четыре ровных квадрата со стороной по ее углам, а полученную фигуру согнуть, так чтобы получилась коробка без верхней крышки. Задача состоит в таком выборе размера вырезаемых квадратов, чтобы в результате получилась коробка максимального объема.

Рис. 6. Схема изготовления из прямоугольной заготовки с указанием ее размеров

Для математической постановки данной задачи необходимо определить переменные соответствующей задачи оптимизации, задать целевую функцию и специфицировать ограничения. В качестве переменной следует взять длину стороны вырезаемого квадрата r , которая в общем случае, исходя из содержательной постановки задачи, принимает непрерывные действительные значения. Целевой функцией является объем полученной коробки. Поскольку длина стороны основания коробки равна: L - 2r , а высота коробки равна r , то ее объем находится по формуле: V (r) = (L -2r ) 2 r . исходя из физических соображений, значения переменной r не могут быть отрицательными и превышать величину половины размера исходной заготовки L , т.е. 0,5L .

При значениях r = 0 и r = 0,5 L соответствующие решения задачи о коробке являются выраженными. Действительно, в первом случае заготовка остается без изменения, а во втором случае она разрезается на 4 одинаковых части. Поскольку эти решения имеют физическую интерпретацию, задачу о коробке для удобства ее постановки и анализа можно считать оптимизации с ограничениями типа нестрогих неравенств.

С целью унификации, обозначим переменную через х = r , что не оказывает влияния на характер решаемой задачи оптимизации. Тогда математическая постановка задачи о коробке максимального объема может быть записана в следующем виде:

где (1)

Целевая функция данной задачи является нелинейной, поэтому задача о коробке максимального размера относится к классу задач нелинейного программирования или нелинейной оптимизации.

2. Классификация методов оптимального управления

Оптимизация процесса заключается в нахождении оптимума рассматриваемой функции или оптимальных условий проведения данного процесса.

Для оценки оптимума, прежде всего, необходимо выбрать критерий оптимизации. Обычно, критерий оптимизации выбирает из конкретных условий. Это могут быть технологический критерий (например, содержание Сu в отвальном шлаке) или экономический критерий (минимальная стоимость продукта при заданной производительности труда) и др. На основании выбранного критерия оптимизации составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимизации от параметров влияющих на его значение. Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции. В зависимости от характера рассматриваемых математических моделей принимаются различные математические методы оптимизации.

Общая постановка задачи оптимизации заключается в следующем:

1. Выбирается критерий

2. Составляется уравнение модели

3. Накладывается система ограничения

4. Решение

модель - линейная или нелинейная

Ограничения

В зависимости от структуры модели применяются различные методы оптимизации. К ним относятся:

1. Аналитические методы оптимизации (аналитический поиск экстремума, метод множителей Лагранжа, Вариационные методы)

2. Математическое программирование (линейное программирование, динамическое программирование)

3. Градиентные методы.

4. Статистические методы (Регрессионный анализ)

Линейное программирование . В задачах линейного программирования критерий оптимальности представляется в виде:

где - заданные постоянные коэффициенты; Переменные задачи.

Уравнения модели представляют собой линейные уравнения (полиномы) вида на которые накладывается ограничения в виде равенства или неравенства, т.е. (2)

В задачах линейного программирования обычно предполагается, что все независимые переменные Х j неотрицательны, т.е.

Оптимальным решением задачи линейного программирования является такая совокупность неотрицательных значений независимых переменных

Которая удовлетворяет условия (2) и обеспечивает в зависимости от постановки задачи max или min значение критерия.

Геометрическая интерпретация имеет вид: - критерий при наличии ограничении на переменных Х 1 и Х 2 типа равенств и неравенств

R имеет постоянное значение вдоль линии l . Оптимальное решение будет в точке S , т.к. в этой точке критерий будет max .Одним из методов решения задачи оптимизации линейного программирования является симплекс-метод.

Нелинейное программирование . Математическая постановка задачи нелинейного программирования заключается в следующем: Найти экстремум целевой функции , которая имеет вид нелинейности.

На независимые переменные налагаются различные ограничения типа равенств или неравенств

в настоящее время для решения задач нелинейного программирования применяются довольно большое число методов.

К ним относится: 1) Градиентные методы (метод градиента, метод наискорейшего спуска, метод образов, метод Розенброка и т.д.)

2) Безградиентные методы (метод Гауса-Зейделя, метод сканирования).

Градиентные методы оптимизации

Эти методы относятся к численным методам поискового типа. Сущность этих методов заключается в определении значений независимых переменных, дающих наибольшее (наименьшее) изменение целевых функции. Обычно это достигается при движении вдоль градиента, ортогонального к контурной поверхности в данной точке.

Рассмотрим метод градиента. В этом методе используется градиент целевой функции. В методе градиента шаги совершаются в направлении наибыстрейшего уменьшения целевой функции.

Рис. 8. Поиск минимума методом градиента

Поиск оптимума производится в два этапа:

1-этап: - находят значения частных производных по всем независимым переменным, которые определяют направление градиента в рассматриваемой точке.

2-этап: - осуществляется шаг в направлении обратном направлению градиента, т.е. в направлении наибыстрейшего убывания целевой функции.

Алгоритм градиентного метода может быть записан следующим образом:

(3)

Характер движения к оптимуму методом наискорейшего спуска заключается в следующем (рис. 6.9), после того как в начальной точке найден градиент оптимизируемой функции и тем самым определено направление ее наибыстрейшего убывания в указанной точке, в данном направлении делается шаг спуска. Если значение функции в результате этого шага уменьшилась, то производится очередной шаг в том же направлении, и так до тех пор, пока в этом направлении не будет найден минимум, после чего вычисляется снова градиент и определяется новое направление наибыстрейшего убывания целевой функции.

Безградиентные методы поиска экстремума. Эти методы, в отличии от градиентных, используют в процессе поиска информации, получаемую не при анализе производных, а от сравнительной оценки величины критерия оптимальности в результате выполнения очередного шага.

К безградиентным методам поиска экстремума относится:

1. метод золотого сечения

2. метод с использованием чисел Фибония

3. метод Гауса-Зейделя (метод получения изменения переменной)

4. метод сканирования и т.д.

АННОТАЦИЯ

Настоящее пособие знакомит с основными условиями оптимальности и методами решения задач вариационного исчисления и оптимального управления. Будет полезно для подготовки и проведения практических занятий по разделу "Оптимальное управление", а также при выполнении домашних заданий по этой теме студентами.

Учебное пособие является электронной версией книги:
Оптимальное управление в примерах и задачах. Сотсков А.И., Колесник Г.В. - М.: Российская экономическая школа, 2002 - 58 с.

Предисловие

1. Простейшая задача вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера
Примеры
Упражнения

2. Задача оптимального управления. Принцип максимума
Примеры
Упражнения

3. Фазовые ограничения в задаче оптимального управления
Примеры
Упражнения

4. Динамическое программирование и уравнение Беллмана
Примеры
Упражнения

Литература

Предисловие

Теория оптимального управления является одним из разделов курса "Математика для экономистов", читаемого в Российской экономической школе.
Опыт преподавания показывает, что данный раздел - один из наиболее сложных для освоения. Это прежде всего связано с концептуальными отличиями изучаемых в нем задач оптимального управления от задач конечномерной оптимизации, и, как следствие, с существенным усложнением используемых в них условий оптимальности.
В связи с этим представляется полезным дать наглядную иллюстрацию применения данных условий оптимальности к решению задач различных типов. Настоящее пособие и является попыткой дать такую иллюстрацию. В нем содержатся примеры и задачи по четырем темам:
. вариационному исчислению;
. принципу максимума в задачах без ограничений;
. принципу максимума при наличии фазовых ограничений;
. динамическому программированию.
Каждый раздел состоит из теоретической части, описывающей базовые понятия и результаты, используемые при решении соответствующих задач, примеров с решениями, а также задач для самостоятельной работы студентов.
Следует подчеркнуть, что данное пособие ни в коем случае не является теоретическим курсом, а ориентировано прежде всего на практическое применение методов оптимального управления. В качестве теоретического пособия по данному разделу можно порекомендовать, например, книгу.
По мнению авторов, данное пособие будет полезным преподавателям при подготовке и проведении практических занятий по разделу "Оптимальное управление", а также студентам при выполнении домашних заданий по этой теме.

Электронная версия книги : [Скачать, PDF, 633.8 КБ ].

Для просмотра книги в формате PDF требуется программа Adobe Acrobat Reader, новую версию которой можно бесплатно скачать с сайта компании Adobe.

6.2.1. Постановка и классификация задач теории оп­тимального управления. В подавляющем большинстве рас­смотренных нами задач факторы, связанные с изменением изу­чаемых объектов и систем в течение времени, выносились за скобки. Возможно, при выполнении определенных предпосы­лок такой подход является конструктивным и правомерным. Однако очевидно и то, что это допустимо далеко не всегда. Су­ществует обширный класс задач, в которых необходимо найти оптимальные действия объекта, учитывающие динамику его состояний во времени и пространстве. Методы их решения со­ставляют предмет математической теории оптимального управ­ления.

В весьма общем виде задача оптимального управления мо­жет быть сформулирована следующим образом:

Имеется некоторый объект, состояние которого харак­теризуется двумя видами параметров - параметрами состояния и параметрами управления, причем в зависи­мости от выбора последних процесс управления объек­том протекает тем или иным образом. Качество про­цесса управления оценивается с помощью некоторого функционала*, на основе чего ставится задача: найти такую последовательность значений управляющих па­раметров, для которой данный функционал принимает экстремальное значение.

* Функционалом называется числовая функция, аргументами кото­рой, как правило, служат другие функции.

С формальной точки зрения многие проблемы оптимального управления могут быть сведены к задачам линейного или нели­нейного программирования большой размерности, так как каж­дой точке пространства состояний соответствует свой вектор неизвестных переменных. Все же, как правило, движение в дан­ном направлении без учета специфики соответствующих задач не приводит к рациональным и эффективным алгоритмам их ре­шения. Поэтому методы решения задач оптимального управле­ния традиционно связаны с другим математическим аппаратом, берущим свое начало от вариационного исчисления и теории интегральных уравнений. Следует также заметить, что опять-таки в силу исторических причин теория оптимального управ­ления была ориентирована на физические и технические при­ложения, и ее применение для решения экономических задач носит в определенном смысле вторичный характер. В то же вре­мя в целом ряде случаев модели исследования, применяющие аппарат теории оптимального управления, могут привести к содержательным и интересным результатам.

К сказанному выше необходимо добавить замечание о тес­ной связи, существующей между методами, применяемыми для решения задач оптимального управления, и динамическим про­граммированием. В одних случаях они могут использоваться на альтернативной основе, а в других довольно удачно дополнять друг друга.

Существуют различные подходы к классификации задач оп­тимального управления. Прежде всего, их можно классифици­ровать в зависимости от объекта управления:

Ø Ø задачи управления с сосредоточенными параметрами;

Ø Ø задачи управления объектами с распределенными парамет­рами.

Примером первых является управление самолетом как еди­ным целым, а вторых - управление непрерывным технологи­ческим процессом.

В зависимости от типа исходов, к которым приводят приме­няемые управления, выделяют детерминированные и стоха­стические задачи. В последнем случае результатом управле­ния является множество исходов, описываемых вероятностями их наступления.

По характеру изменения управляемой системы во времени различают задачи:

Ø Ø с дискретно изменяющимся временем ;

Ø Ø с непрерывно изменяющимся временем .

Аналогично классифицируются задачи управления объекта­ми с дискретным или непрерывным множеством возможных состояний. Задачи управления системами, в которых время и со­стояния меняются дискретно, получили название задач управле­ния конечными автоматами . Наконец, при определенных ус­ловиях могут ставиться задачи управления смешанными системами.

Многие модели управляемых систем основаны на аппарате дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в час­тных производных. При исследовании систем с распределенны­ми параметрами, в зависимости от вида используемых диффе­ренциальных уравнений в частных производных, выделяют такие типы задач оптимального управления, как параболиче­ские, эллиптические или гиперболические.

Рассмотрим два простейших примера задач управления эко­номическими объектами.

Задача распределения ресурсов. Имеется т складов с номерами i (i ∊1:m ), предназначенных для хранения однородно­го продукта. В дискретные моменты времени t ∊0:(T -l) проис­ходит его распределение между объектами-потребителями (клиентами) с номерами j , j ∊1:n . Пополнение запаса в пунктах хранения продукта в t -й момент времени определяется величи­нами a i t , i ∊1:m , а потребности клиентов в нем равняются b j t , j ∊1:n . Обозначим через c t i,j - затраты на доставку единицы продукта из i -го склада j -му потребителю в момент времени t. Также предполагается, что продукт, поступивший на склад в момент t , может быть использован, начиная со следующего мо­мента (t +l). Для сформулированной модели ставится задача найти такой план распределения ресурсов {х t i,j } T m xn , который минимизирует суммарные расходы на доставку потребителям продукции со складов в течение полного периода функциониро­вания системы.

Обозначив через х t i,j количество продукта, поставляемое j -му клиенту с i -го склада в t -й момент времени, а через z t i - общее количество продукта на i -м складе, описанную выше про­блему можно представить как задачу нахождения таких сово­купностей переменных

которые обращают в минимум функцию

при условиях

где объемы начальных запасов продукта на складах z 0 i = ž i . пред­полагаются заданными.

Задачу (6.20)-(6.23) называют динамической транспорт­ной задачей линейного программирования . С точки зрения приведенный выше терминологии независимые переменные х t i,j представляют собой параметры управления системой, а зави­сящие от них переменные z t i - совокупность параметров состояния системы в каждый момент времени t. Ограничения z t i ≥ 0 гарантируют, что в любой момент времени с любого скла­да не может быть вывезен объем продукта, превышающий его фактическое количество, а ограничения (6.21) задают правила изменения этого количества при переходе от одного периода к другому. Ограничения данного вида, которые задают условия на значения параметров состояния системы, принято называть фазовыми.

Отметим также, что условие (6.21) служит простейшим при­мером фазовых ограничений, поскольку связываются значения параметров состояния для двух смежных периодов t и t +l. В общем случае может устанавливаться зависимость для груп­пы параметров, принадлежащих нескольким, возможно не­смежным, этапам. Такая потребность может возникнуть, на­пример, при учете в моделях фактора запаздывания поставок.

Простейшая динамическая модель макроэкономики. Представим экономику некоторого региона как совокупность п отраслей (j ∊1:п ), валовой продукт которых в денежном вы­ражении на некоторый момент t может быть представлен в виде вектора z t =(z t 1 , z t 2 ,..., z t n ), где t ∊0:(Т -1). Обозначим через A t матрицу прямых затрат, элементы которой a t i,j , отражают затра­ты продукции i -й отрасли (в денежном выражении) на изготов­ление единицы продукции j -й отрасли в t -й момент времени. Если X t = ║x t i,j ║ n xm - матрица, задающая удельные нормы продукции i -й отрасли, идущей на расширение производства в j -й отрасли, а у t = (у t 1 , у t 2 , ..., у t n ) - вектор объемов продукции от­раслей потребления, идущей на потребление, то условие рас­ширенного воспроизводства можно записать как

где z 0 = ž - исходный запас продукции отраслей предполагает­ся заданным и

В рассматриваемой модели величины z t являются парамет­рами состояния системы, а X t - управляющими параметрами. На ее базе могут быть поставлены различные задачи, типичным представителем которых является задача оптимального вывода экономики на момент Т к некоторому заданному состоянию z *. Данная задача сводится к отысканию последовательности управляющих параметров

удовлетворяющих условиям (6.24)-(6.25) и минимизирующих функцию

6.2.2. Простейшая задача оптимального управления. Один из приемов, применяемых для решения экстремальных задач, состоит в выделении некоторой проблемы, допускающей относительно несложное решение, к которой в дальнейшем могут быть сведены остальные задачи.

Рассмотрим так называемую простейшую задачу управле­ния . Она имеет вид

Специфика условий задачи (6.27)-(6.29) состоит в том, что функции качества управления (6.27) и ограничения (6.28) яв­ляются линейными относительно z t , в то же время функция g (t , х t ), входящая в (6.28), может быть произвольной. Послед­нее свойство делает задачу нелинейной даже при t =1, т. е. в статическом варианте.

Общая идея решения задачи (6.27)-(6.29) сводится к ее «расщеплению» на подзадачи для каждого отдельно взятого момента времени, в предположении, что они успешно разреши­мы. Построим для задачи (6.27)-(6.29) функцию Лагранжа

где λ t - вектора множителей Лагранжа (t ∊0:Т ). Ограничения (6.29), носящие общий характер, в функцию (6.30) в данном случае не включены. Запишем ее в несколько иной форме

Необходимые условия экстремума функции Ф(х, z, λ) по со­вокупности векторов z t задаются системой уравнений

которая называется системой для сопряженных перемен­ных . Как можно заметить, процесс нахождения параметров λ t в системе (6.32) осуществляется рекуррентным образом в об­ратном порядке.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа по переменным λ t будут эквивалентны ограничениям (6.28), и, наконец, условия ее экстремума по совокупности векторов х t ∊Х t , t ∊1:(Т -1) должны быть найдены как результат реше­ния задачи

Таким образом, задача поиска оптимального управления сво­дится к поиску управлений, подозрительных на оптимальность, т. е. таких, для которых выполняется необходимое условие оп­тимальности. Это, свою очередь, сводится к нахождению таких t , t , t , удовлетворяющих системе условий (6.28), (6.32), (6.33), которая называется дискретным принципом максиму­ма Понтрягина.

Справедлива теорема.

Доказательство.

Пусть t , t , t , удовлетворяют системе (6.28), (6.32), (6.33). Тогда из (6.31) и (6.32) следует, что

и поскольку t удовлетворяет (6.33), то

С другой стороны, в силу (6.28) из (6.30) следует, что при любом векторе t

Следовательно,

Применяя теорему (6.2), а также положения теории нели­нейного программирования, касающиеся связи между решени­ем экстремальной задачи и существованием седловой точки (см. п. 2.2.2), приходим к выводу о том, что векторы t , t явля­ются решением простейшей задачи оптимального управления (6.27)-(6.29).

В результате мы получили логически простую схему реше­ния данной задачи: из соотношений (6.32) определяются сопря­женные переменные t , затем в ходе решения задачи (6.33) на­ходятся управления t и далее из (6.28) - оптимальная траектория состояний t ,.

Предложенный метод относится к фундаментальным резуль­татам теории оптимального управления и, как уже это упомина­лось выше, имеет важное значение для решения многих более сложных задач, которые, так или иначе, сводятся к простей­шей. В то же время очевидны и пределы его эффективного ис­пользования, которые целиком зависят от возможности реше­ния задачи (6.33).

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ

Ø Ø Игра, игрок, стратегия.

Ø Ø Игры с нулевой суммой.

Ø Ø Матричные игры.

Ø Ø Антагонистические игры.

Ø Ø Принципы максимина и минимакcа.

Ø Ø Седловая точка игры.

Ø Ø Цена игры.

Ø Ø Смешанная стратегия.

Ø Ø Основная теорема матричных игр.

Ø Ø Динамическая транспортная задача.

Ø Ø Простейшая динамическая модель макроэкономики.

Ø Ø Простейшая задача оптимального управления.

Ø Ø Дискретный принцип максимума Понтрягина.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1. Кратко сформулируйте предмет теории игр как научной дисциплины.

6.2. Какой смысл вкладывается в понятие «игра»?

6.3. Для описания каких экономических ситуаций может быть применен аппарат теории игр?

6.4. Какая игра называется антагонистической?

6.5. Чем однозначно определяются матричные игры?

6.6. В чем заключаются принципы максимина и минимакcа?

6.7. При каких условиях можно говорить о том, что игра име­ет седловую точку?

6.8. Приведите примеры игр, которые имеют седловую точку и в которых она отсутствует.

6.9. Какие подходы существуют к определению оптимальных стратегий?

6.10. Что называют «ценой игры»?

6.11. Дайте определение понятию «смешанная стратегия».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамов Л. М., Капустин В. Ф. Математическое про­граммирование. Л.,1981.

2. Ашманов С. А. Линейное программирование: Учеб. посо­бие. М., 1981.

3. Ашманов С. А., Тихонов А. В. Теория оптимизации в зада­чах и упражнениях. М., 1991.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960.

5. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамичес­кого программирования. М., 1965.

6. Гавурин М. К., Малоземов В. Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. Л., 1984.

7. Гасс С. Линейное программирование (методы и приложе­ния). М., 1961.

8. Гейл Д . Теория линейных экономических моделей М., 1963.

9. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимиза­ция / Пер. с англ. М., 1985.

10. Давыдов Э. Г. Исследование операций: Учеб. пособие для студентов вузов. М., 1990.

11. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобще­ния и применения. М.,1966.

12. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линей­ного и выпуклого программирования. М., 1976.

13. Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И. Математические методы исследования операций: Учеб. пособие для вузов. Киев, 1979.

14. Зайченко Ю. П. Исследование операций, 2-е изд. Киев, 1979.

15. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. Единый подход. М., 1973.

16. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М., 1963.

17. Карлин С. Математические методы в теории игр, про­граммировании и экономике. М., 1964.

18. Карманов В. Г. Математическое программирование: Учеб. пособие. М., 1986.

19. Корбут А.А., Финкелыитейн Ю. Ю. Дискретное про­граммирование. М., 1968.

20. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели иссле­дования операций. М., 1977.

21. Кюнце Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.,1965.

22. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.3. Линейное и нелинейное программирование. Киев, 1975.

23. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., 1960.

24. Мухачева Э. А., Рубинштейн Г. Ш. Математическое программирование. Новосибирск, 1977.

25. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономи­ческое поведение. М, 1970.

26. Оре О. Теория графов. М., 1968.

27. Таха X. Введение в исследование операций/ Пер. с англ. М.,1985.

28. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирова­ние. Методы последовательной безусловной минимизации. М.,1972.

29. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирова­ние. М., 1967.

30. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирова­ние (теория, методы и приложения). М., 1969.

31. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирова­ние. Теория и конечные методы. М., 1963.

32. Lapin L. Quantitative methods for business decisions with cases. Fourth edition. HBJ, 1988.

33. Liitle I.D.C., Murty K.G„ Sweeney D.W., Karel C. An al­gorithm for traveling for the traveling salesman problem. - Operation Research, 1963, vol.11, No. 6, p. 972-989/ Русск. пер.: Литл Дж., Мурти К., Суини Д., Керел К. Алгоритм для решения задачи о коммивояжере. - В кн.: Экономика и мате­матические методы, 1965, т. 1, № 1, с. 94-107.

ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................................................................................................................................ 2

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................................................................................................... 3

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.......................................................................................................................................... 8

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ............................................................................................. 9

1.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЗЛП И ЕЕ ПЕРВАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ........................................................... 11

1.3. БАЗИСНЫЕ РЕШЕНИЯ И ВТОРАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗЛП..................................................................... 15

1.4. СИМПЛЕКС-МЕТОД........................................................................................................................................................................................ 17

1.5. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД..................................................................................................................................... 26

1.6. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ....................................................................................... 30

1.7. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД................................................................................................................................................... 37

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 42

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 43

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................. 44

2.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ...................................................................................... 44

2.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ................................................................................................... 55

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 59

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 59

ГЛАВА 3. ТРАНСПОРТНЫЕ И СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ................................................................................................................................ 60

3.1. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ........................................................................................................................ 60

3.2. СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ........................................................................................................................................................................................... 66

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 73

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 73

ГЛАВА 4. ДИСКРЕТНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................... 74

4.1. ТИПЫ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ..................................................................................................................... 74

4.2. МЕТОД ГОМОРИ............................................................................................................................................................................................... 78

4.3. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.......................................................................................................................................................................... 81

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 86

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 86

ГЛАВА 5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ........................................................................................................................... 86

5.1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ................................................................................. 86

5.2. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.................................................................................................... 93

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ........................................................................................................................................................................................ 101

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................ 101

ГЛАВА 6. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАЗДЕЛОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ................................................................. 101

6.1. ТЕОРИЯ ИГР...................................................................................................................................................................................................... 101

6.2. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ........................................................................................................................................... 108

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ........................................................................................................................................................................................ 112

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................ 112

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................................................................................................................ 112

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А.Самарский

«____»_______________2004 г.

П Р О Г Р А М М А

по курсу: ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

по направлению 511600

факультет ФУПМ

кафедра математических основ управления

курс IV

семестр 7, 8

лекции – 50 час. Экзамен – 8 семестр

семинары – 50 час. Зачет – 7 семестр

лабораторные занятия – нет

Самостоятельная работа – 2 часа в неделю

ВСЕГО ЧАСОВ 100

Программу и задание составил: д.ф.-м.н., профессор Жадан В.Г.

Заведующий кафедрой С.А. Гуз

1. Основная задача оптимального управления. Принцип максимума Л.С. Понтрягина (принцип минимума). Каноническая форма записи. Принцип максимума для систем, содержащих управляющие параметры.

2. Задачи с подвижным правым концом. Условия трансверсальности. Задачи Лагранжа и Больца. Задачи Майера и Лагранжа с нефиксированным временем окончания процесса. Задача на быстродействие. Задача с подвижным левым концом.

3. Доказательство принципа максимума Л.С. Понтрягина для задачи Майера. Понятие игольчатой вариации. ЛеммаГронуолла–Беллмана. Учет оптимизации по управляющему параметру.

4. Связь принципа максимума с вариационным исчислением. Уравнение Эйлера. Первые интегралы уравнения Эйлера. Условия Веерштрасса, Лежандра и Якоби. Уравнение Якоби. Условия Веерштрасса–Эрдмана.

5. Линейные системы. Принцип максимума для линейных систем. Теорема о конечном числе точек переключений.

6. Множество достижимости для линейных систем. Экстремальное управление и экстремальный принцип.

7. Точечная управляемость для линейных систем. Критерий точечной управляемости. Теорема Калмана о точечной управляемости. Полная управляемость линейных систем. Теорема Калмана о полной управляемости автономных систем.

8. Проблема наблюдаемости. Критерий наблюдаемости для линейной системы. Наблюдение начального состояния. Связь между наблюдаемостью и управляемостью. Критерий полной наблюдаемости стационарной системы.

9. Формализм Лагранжа и его использование для решения задач оптимального управления. Проблема синтеза оптимального управления.

10. Проблема идентификации. Критерий идентифицируемости. Критерий полной идентифицируемости стационарной системы.

11. Системы с разрывными правыми частями. Условие скачка импульсов.

12. Понятие инвариантных систем. Свойства динамических систем. Опорное поле импульсов. Необходимые и достаточные условия инвариантности. Корректирующая функция.

13. Достаточные условия оптимальности. Поле экстремалей. Связь с достаточными условиями Веерштрасса для классической задачи вариационного исчисления.

14. Элементы теории динамического программирования. Необходимые условия оптимальности. Достаточные условия оптимальности. Уравнение Беллмана. Вывод принципа максимума из динамического программирования. Связь с вариационным исчислением.

15. Методы решения краевых задач. Применение метода Ньютона. Перенос граничных условий. Метод прогонки для нелинейных задач.

16. Численные методы, основанные на последовательном анализе вариантов. Метод «киевского веника», метод блуждающей трубки, метод локальных вариаций.

17. Численные методы, основанные на редукции к задачам нелинейного программирования. Вычисление производных по компонентам вектора управлений в случае дискретных процессов. Метод штрафов, метод нагруженного функционала.

18. Дискретный принцип минимума. Вариационные неравенства. Применение метода условного градиента для решения задач оптимального управления. Принцип квазиминимума.

19. Достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова для непрерывных и дискретных процессов. Применение формализма В.Ф. Кротова для решения линейных задач.

20. Особые управления. Определение особых управлений с помощью скобок Пуассона. Условия Келли и Коппа–Мойера.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1971.

2. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. – М.: Наука, 1982.

3. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.: Наука, 1987.

4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе З.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Физматгиз, 1961.

5. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1988.

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. – Минск: Наука и техника, 1974.

7. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. – М.: Мир, 1978.

8. Основы теории оптимального управления /Под редакцией В.Ф. Кротова. – М.: Высшая школа, 1990.

9. Ли Э.Б., Маркус П. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

10. ГабасовР., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. – М.: Наука, 1973.

Задание можно посмотреть

Оптимальное управление

Оптимальное управление - это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы .

Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств .

Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: вариационное исчисление , принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана .

Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечёткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные.

Задача оптимального управления

Сформулируем задачу оптимального управления:

здесь - вектор состояния - управление, - начальный и конечный моменты времени.

Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления для времени , которые минимизируют функционал.

Вариационное исчисление

Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления . Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа . Функция Лагранжа имеет вид: , где - граничные условия. Лагранжиан имеет вид: , где , , - n-мерные вектора множителей Лагранжа .

Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:

Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть - в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге

Принцип максимума Понтрягина

Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно .

В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):

(6)

В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением . Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: . Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:

Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге .

Где применяется

Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.

История

За разработку теории оптимального управления Л.С. Понтрягину и его сотрудникам В.Г. Болтянскому , Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко в 1962 г была присуждена Ленинская премия .

Метод динамического программирования

Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности Беллмана, который формулируется следующим образом: оптимальная стратегия управления обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса последующие управления должны составлять оптимальную стратегию управления относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса . Более подробно метод динамического программирования изложен в книге

Примечания

Литература

1. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами. - М.: Сов. радио, 1980. - 232 с., ББК 32.815, тир. 12000 экз.
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М. , Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979, УДК 519.6, - 223 c., тир. 24000 экз.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Оптимальное управление" в других словарях:

Оптимальное управление - ОУ Управление, обеспечивающее наивыгоднейшее значение определенного критерия оптимальности (КО), характеризующего эффективность управления при заданных ограничениях. В качестве КО могут быть выбраны различные технические или экономические… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

оптимальное управление - Управление, цель которого заключается в обеспечении экстремального значения показателя качества управления. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 107. Теория управления. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.]… … Справочник технического переводчика

Оптимальное управление - 1. Основное понятие математической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: «О.у.»); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее с точки… … Экономико-математический словарь

Позволяет при заданных условиях (часто противоречивых) достичь поставленной цели наилучшим образом, напр. за минимальное время, с наибольшим экономическим эффектом, с максимальной точностью … Большой Энциклопедический словарь

Летательным аппаратом раздел динамики полёта, посвящённый развитию и использованию методов оптимизации для определения законов управления движением летательного аппарата и его траекторий, обеспечивающих максимум или минимум выбранного критерия… … Энциклопедия техники

Раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи. Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены «рулями» с их помощью человек управляет движением. Математически поведение такого объекта описывается… … Большая советская энциклопедия